chaque semaine, je vais essayer de developper une technique d olympiade, c est à vous de comprendre, de répondre, d ajouter des améliorations voir même poster des exos qu on peut faire avec cette technique.
sujet :inégalité: :
la première inégalité qu il faut connaitre est : pour tout x de R : x²>=0 c est à dire un carré est toujours positif
Exemple : 4²=16>=0
0²=0>=0
(-5)²=25>=0
en utlisant l inégalité précédente, on peut démontrer bcp d inégalités classiques :
qu est ce qu on peut dire a propos de (a-b)² ? c est un carré. alors ? il est positif. donc? on developpe : a²+b²-2ab>=0 d ou a²+b²>=2ab
a>0,b>0 (pr mettre racine) qu est ce qu on peut dire a propos de (rac(a)-rac(b))² on developpe:a+b-2rac(ab)>=0 d ou a+b>=2rac(ab)
résumé:à connaitre par coeur
x²>0
a²+b²>=2ab
a+b>2rac(ab) pour a et b positifs
Exercices :
1) soit x >0 , montrer que : x+1/x >=2
2) soient a>0 , b>0 : montrer que a/b+b/a>=2
3) soient x,yet z tels que x+y+z=6, montrer que x²+y²+z²>=12 ( point de départ : commencer par (x-2)²>=0 ...)
4) soient a,b,c et d des réels positifs tels que abcd=1
montrer que a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=10
(remarquer que a²+b²>=2ab et que cd=1/ab ....)
5)soient a>0 b>0 , montrer que :
a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3>=6
6)soient x , y >0 montrer que :
x/(x^4+y²)+y/(y^4+x²) <=1/xy ( indication x^4+y²>=2x²y... )
7) -soient a,b>0
montrer que (a+b)(1/a+1/b)>=4 ( indication developper )
-soient a,b,c >0 montrer que :
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
généralisation:
soient a1,a2,a3,...,an >0 montrer que :
(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)>=n² ( developper et essayer de regrouper les termes de la forme a/b+b/a ensemble)
8 ) soit x et y poistifs ,montrer que:
x²+y²+1>=xrac(y²+1)+yrac(x²+1)
9)soient x,y,z des réels positifs montrer que :
x²/y²+y²/z²+z²/x²>= x/z+z/y+y/x
tous ceux qui ont réussi à faire les exos doivent poster leur réponse ( n essayer pas de lire les réponses des autres , essayer de faire ça par vous même ! )