cette equation fonctionnellef(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1

f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 (1).
Calcul lorsque : f(y) = 0 ->
(1) -> f(x) = f(0) + f(x) - 1 -> f(0) = 1. (2)
Calcul lorsque : f(y) = x -> (1) -> f(0) = f(x) + x² + f(x) - 1.
Et avec (2), on a : 1 = f(x) + x² + f(x) - 1. 2.f(x) = 2 - x²
Donc : f(x) = (2 - x²) / 2. Vérification :
f(x) = (2 - x²) / 2.
f(y) = (2 - y²) / 2.
x - f(y) = x - ((2 - y²) / 2) = (2x - 2 + y²) / 2.
f(x-f(y)) = (2 - ((2x - 2 + y²) / 2)²) / 2.
Après développement :
f(x-f(y)) = (4 - 4x² -(y^4) + 8x - 4xy² + 4y²) / 8 (3).
f(f(y) = ( 2 - ((2 - y²) / 2)²) / 2
f(f(y) = (4 - (y^4) + 4y²) / 8.
f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 = ((4 - (y^4) + 4y²) / +( x . (2 - y²) / 2) + ((2 -
x²) / 2) -1.
Après développement :
f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 = (4 - 4x² -(y^4) + 8x - 4xy² + 4y²) / 8 (4).
(3) et (4) ->
f(x-f(y)) = f(f(y))+xf(y)+f(x)-1
Qui est bien la relation de départ.