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 Trouver tous les triplets

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MessageSujet: Trouver tous les triplets   Septembre 10th 2008, 8:27 am

Trouver tous les triplets ordonnés d'entiers positifs tels que : abc + ab + c = a^3.
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MessageSujet: Re: Trouver tous les triplets   Septembre 10th 2008, 8:27 am

Bonjour,
abc + ab + c = a^3, avec a, b et c dans N

1) a = 0 ==> c=0
==> Solution S1 : (0, b, 0)
2) a > 0
a divise c et donc c = ad
==>
abd + b + d = a^2

Si a < b a^2 < ab et l'égalité ci dessus ne peut être vraie que si d=0. Sinon, en effet, a^2 < ab <=abd < abd + d + b
==> solution S2 : (a, a^2, 0)
Si b = 0 :
==> solution S3 : (a, 0, a^3)
Si b = 1 :
ad + 1 + d = a^2
(a + 1)(a - d - 1) = 0
==> solution S4 : (a, 1, a^2 - a)

Si a > b > 1, effectuons la division euclidienne de a par b :
a = ub + v avec v0

ub^2d +vbd +b +d = u^2b^2 +2ubv + v^2

d(ub^2 + vb + 1) = u^2b^2 + 2ubv + v^2 - b
d(ub^2 + vb + 1) = u(ub^2 + vb + 1) + ubv + v^2 - b - u

==> A = ub^2 + vb + 1 divise B = ubv + v^2 - b - u
Or, v < b ==> (ub + v)v < (ub + v)b ==> (ub + v)v - b - u < (ub + v)b + 1 ==> B < A

Si v = 0 :
A = ub^2 + 1 divise B = - (b+u)
A + B = (u - 1)(b - 1) + ub(b - 1)
Comme b > 1 et u > 0, on a A + B > 0 ==> A > -B > 0
Comme on a déjà A > B, il vient A > |B| > 0 et A ne peut diviser B

Si v > 0
B= ubv + v^2 - b - u = (b - 1)(u - 1) + (v + 1 + ub)(v - 1)
Puisque b > 1 et u > 0, B >= 0
On a donc A > B >=0 et A ne peut diviser B que si B est nul
B = 0 ==> (b - 1)(u - 1) + (v + 1 + ub)(v - 1) = 0 ==> v = 1 et u = 1
==> solution S5 : (a, a - 1, a)


En résumé, les triplets (a,b,c) solution sont :
(0, b, 0)
(a, a^2, 0)
(a, 0, a^3)
(a, 1, a^2 - a)
(a, a - 1, a)
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