les leçons des inégalités avec l'admin

chaque semaine, je vais essayer de developper une technique d olympiade, c est à vous de comprendre, de répondre, d ajouter des améliorations voir même poster des exos qu on peut faire avec cette technique.

sujet :inégalité: :
la première inégalité qu il faut connaitre est : pour tout x de R : x²>=0 c est à dire un carré est toujours positif

Exemple : 4²=16>=0
0²=0>=0
(-5)²=25>=0
en utlisant l inégalité précédente, on peut démontrer bcp d inégalités classiques :

qu est ce qu on peut dire a propos de (a-b)² ? c est un carré. alors ? il est positif. donc? on developpe : a²+b²-2ab>=0 d ou a²+b²>=2ab

a>0,b>0 (pr mettre racine) qu est ce qu on peut dire a propos de (rac(a)-rac(b))² on developpe:a+b-2rac(ab)>=0 d ou a+b>=2rac(ab)

résumé:à connaitre par coeur
x²>0
a²+b²>=2ab
a+b>2rac(ab) pour a et b positifs

Exercices :
1) soit x >0 , montrer que : x+1/x >=2

2) soient a>0 , b>0 : montrer que a/b+b/a>=2

3) soient x,yet z tels que x+y+z=6, montrer que x²+y²+z²>=12 ( point de départ : commencer par (x-2)²>=0 ...)

4) soient a,b,c et d des réels positifs tels que abcd=1
montrer que a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=10
(remarquer que a²+b²>=2ab et que cd=1/ab ....)

5)soient a>0 b>0 , montrer que :
a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3>=6

6)soient x , y >0 montrer que :
x/(x^4+y²)+y/(y^4+x²) <=1/xy ( indication x^4+y²>=2x²y... )

7) -soient a,b>0
montrer que (a+b)(1/a+1/b)>=4 ( indication developper )
-soient a,b,c >0 montrer que :
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
généralisation:
soient a1,a2,a3,...,an >0 montrer que :
(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)>=n² ( developper et essayer de regrouper les termes de la forme a/b+b/a ensemble)

8 ) soit x et y poistifs ,montrer que:
x²+y²+1>=xrac(y²+1)+yrac(x²+1)

9)soient x,y,z des réels positifs montrer que :
x²/y²+y²/z²+z²/x²>= x/z+z/y+y/x



tous ceux qui ont réussi à faire les exos doivent poster leur réponse ( n essayer pas de lire les réponses des autres , essayer de faire ça par vous même ! )

je commence cette partie par un petit rappel de ce qu on a fait avant, c est a dire la première technique :

rappel:
x²>0 pour tout x de R
a²+b²>=2ab
a+b>=2rac(ab)

la première technique nous donne la relation entre la somme de 2 nombres (a+b) et leur produit (ab) , cette relation est a+b>=2rac(ab)

question: est ce qu on peut généraliser ce résultat à n nombres ? si oui comment ?
nous commençons cette technique par une petite définition : racine n éme
racine n ème est celui qui absorbe la puissance n éme , ça s écrit ^(1/n)

exemple:
4^(1/2) = (2²)^(1/2) = 2 ( ^(1/2) absorbe le carré )
(6^5)^(1/5)=6 ( ^(1/5) absorbe la puissance 5 ème )

j espère que vous avez compris ce que ça vous dire racine n ème !
ne pas lire la suite si vous avez pas compris cette introduction !

deuxième tachnique: inégalité de la moyenne
(la somme de n nombres) >= n (produit de ces nombres )^(1/n)
mathématiquement :


j espère que vous avez compris cette deuxième technique

Exercices :
1) soit x > 0 , montrer que x+1/x>=2

2) soient a>0 b>0 montrer que a/b+b/a>=2

3)soit a,b,c >0 tel que abc=1
montrer que a+b+c>=3

4)soient a>0 b>0 , montrer que :
a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3>=6

5) soient a,b,c et d des réels positifs tels que abcd=1
montrer que a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=10

6) soient a1,a2,a3,...,an >0 montrer que :
(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)>=n²

7) soient a , b et c >0 tel que abc=1
montrer que (ab+1)/(b+b²)+(bc+1)/(c+c²)+(ca+1)/(a+a²) >=3
indication: essayer de faire apparaitre c en (ab+1)/(b+b²) avant d appliquer la technique ...

8 ) montrer que pour tout n de N, on a :
(n+1)/2 >=(n!)^(1/n)
NB: n!=1*2*3*...*n

9) soient a, b et c des réels positifs, montrer que :
(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc

10) soient a, b et c trois réels strictement positifs, montrer que :
1/(a(a+b)) +1/(b(b+c))+1/(c(c+a))>= 27/(2(a+b+c)²)

indication : il faut utliser la moyenne trois fois !

tous ceux qui ont réussi à faire les exos doivent poster leur réponse ( n essayer pas de lire les réponses des autres , essayer de faire ça par vous même ! )