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 Question N°1

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MessageSujet: Question N°1   Septembre 16th 2008, 6:06 am

1 Généralités
On cherche les applications f : R -> R vérifiant : pour tout x , y f(x+y) +f(x-y) = 2 f(x) f(y) :(E) Première question : Chercher les solutions constantes. Deuxième question : montrer que si f est dérivable à l'ordre 2 , f est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficient constant ; en déduire f. merci.Frebet
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MessageSujet: Re: Question N°1   Septembre 16th 2008, 6:07 am

1) Si f(x) = a = constante, alors en remplaçant dans l'équation fonctionnelle (E) nous obtenons:
a + a = 2a2, soit a = 0 ou a = 1. Nous nous plaçons désormais dans le cas où f n'est pas cosntante.
2) Si nous remplaçons y par x et si nous dérivons l'équation (E) par rapport à x nous obtenons:
2f '(2x) = 4f '(x)f(x), et si nous dérivons une seconde fois par rapport à x:
4f "(2x) = 4f "(x)f(x) +4f '2(x) soit f "(2x) = f "(x)f(x) +f '2(x): (F).
Si nous dérivons deux fois l'équation (E) par rapport à x nous obtenons:
f "(x+y) + f "(x-y) = 2f(y)f "(x), soit en remplaçant maintenant y par x,
f "(2x) +f "(0) = 2f(x)f "(x).
Si nous remplaçons dans (F), f "(2x) par -f "(0) + 2f(x)f "(x) nous obtenonsl'équation (G):
y"y -y'2 = y"(0) si nous posons y = f(x).
3) Si nous remplaçons dans (E) y par 0 alors nous obtenons:
2f(x) = 2f(x)f(0) soit f(x)(1-f(0))=0.
Si pout tout x, f(x) = 0 nous sommes dans le cas 1) mis de côté.
Nous avons donc f(0) = 1.

A l'aide ce cette dernière donnée on résout l'équation (G) et on trouve
que f(x) = chx = cosinus hyperbolique de x = [exp(x) + exp(-x)]/2
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