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 la descente infinie de fermat c koi?

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MessageSujet: la descente infinie de fermat c koi?   Septembre 10th 2008, 8:39 am

la descente infinie de fermat c koi?
La descente infinie est une methode introduite et abondamment utilisée par Fermat.Le but est de prouver qu'une certaine équation diophantienne n admet pas (ou trés peu)de solution.pour cela on part d une solution hypothetique et on en construit une nouvelle,strictement plus petite dans un certain sens.
On obtiendrait ainsi une suite strictement décroissante de solution,ce qui n est en general pas possible
Maintenant, il ne faut pas se laisser impressionner par le terme. Ce n'est rien d'autre qu'une forme de raisonnement par l'absurde très classique :

Je suppose l'ensemble des solutions non vide.
Comme c'est un sous-ensemble de N, ou N^2, ou N^3 (selon le problème), il admet un ou plusieurs plus petits éléments (selon une relation d'ordre à préciser : ordre des max, ordre de la somme, ordre d'une des composantes, ...).

On prend un de ces plus petits éléments et on montre qu'il y en a un plus petit ==> absurde ==> ensemble des solutions vide.

Exemple très simple de ce que l'on pourrait appeler la descente infinie :

Je veux démontrer que racine(2) est irrationnel.
Donc que l'équation diophantienne p^2 = 2q^2 avec p et q dans N* n'a pas de solutions.

1) je suppose une solution (p,q)
2) j'en déduit que p est pair ==> p=2p1 ==> 4p1^2 = 2q^2 ==> q^2 = 2p1^2 ==> q est pair ==> q=2q1 ==> 4q1^2 = 2p1^2 ==> p1^2 = 2q1^2
Donc, si (p,q) est solution, p et q sont pairs et (p/2, q/2) est solution.

etc ....

Donc il n'y a pas de solution,

et racine(2) est bien irrationnel (ouf!)
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