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 Soient a et b des entiers

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MessageSujet: Soient a et b des entiers   Septembre 10th 2008, 8:27 am

Soient a et b des entiers >0 distincts tels que ab(a+b) est divisible par a²+ab+b².
Montrer que |a-b|^3>ab
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MessageSujet: Re: Soient a et b des entiers   Septembre 10th 2008, 8:28 am

On a donc ab(a+b) = k (a^2 + ab + b^2) avec k > 0
Soit p=pgcd(a,b), et donc a=pu et b=pv avec pgcd(u,v)=1.
==> puv(u+v) = k (u^2 + uv + v^2) = ku^2 + kv(u+v) ==> v(u+v) divise ku^2, donc divise k puisque u et v sont premiers entre eux.
k = k'v(u+v) ==> pu = k'u^2 + k'v(u+v) ==> u divise k'v(u+v), donc divise k', toujours puisque u et v sont premiers entre eux.
==> k' = k''u ==> p = k''u^2 + k"v(u+v) > uv
==> p|u-v|^3 >= p > uv ==> p^3|u-v|^3 > p^2uv ==> |a - b|^3 > ab
CQFD
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Soient a et b des entiers
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